ঘড়ির কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়

ঘড়ির কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়

ঘড়ির কাঁটার কোণ নির্ণয় করা খুবই সহজ আর মজার একটি বিষয়। প্রতিযোগিতামূলক অনেক পরীক্ষায় এখান থেকে প্রশ্ন করা হয়। একটা ”সময়” বলা থাকে, ঐ অবস্থায় ঘণ্টার কাঁটা আর মিনিটের কাঁটার মধ্যে কোণ কত – সেটা জানতে চাওয়া হয়। সমস্যাটা সমাধান করতে লাগবে ছোটবেলার ঐকিক নিয়ম আর এই বড়বেলার চিন্তাশক্তি। ভয় পাবার কোনো প্রয়োজন নেই, আপনাকে বোঝানোর দায়িত্ব আমার। চলুন শুরু করি। এর পর থেকে কোণ বলতে বোঝাবো ঘণ্টার কাঁটা আর মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ। বলা থাকবে “সময়”, বের করতে হবে “কোণ”। তাই তো? আচ্ছা, তাহলে ছোটোখাটো পুরনো কিছু প্রয়োজনীয় তথ্য ঝালাই করে নেই। ১। ঘড়ির কাঁটা বৃত্তাকার পথে ঘোরে। ২। এক ঘড়িতে সর্বমোট ১২টি ঘণ্টার দাগ কাঁটা থাকে। ৩। একটা বৃত্ত মানে ৩৬০ ডিগ্রী কোণ। তাহলে, ঘণ্টার কাঁটার ক্ষেত্রে ১২ ঘণ্টা = ৩৬০ ডিগ্রী। অতএব, ১ ঘণ্টা = (৩৬০/১২) ডিগ্রী [“/” চিহ্নটা দিয়ে ভাগ বোঝানো হয়েছে] = ৩০ ডিগ্রী ৪। অর্থাৎ, ৬০ মিনিট = ৩০ ডিগ্রী। অতএব, ঘণ্টার কাঁটার ক্ষেত্রে ১ মিনিট = (৩০/৬০) ডিগ্রী = ০.৫ ডিগ্রী ৫। একই সাথে ঘণ্টার কাঁটা আর মিনিটের কাঁটা ঘড়ির ১২ সংখ্যাটিকে নির্দেশ করলে, কোণ হবে শূন্য। যেমনঃ দুপুর ১২ টা। [খুবই গুরুত্বপূর্ণ] ৭। ঘণ্টার কাঁটা সরলেও কোণের পরিবর্তন হবে, মিনিটের কাঁটা সরলেও পরিবর্তন হবে। কারো সরণ নেই, তো কোণের পরিবর্তনও নেই। ৮। সাধারণত কোণ মাপা হয় ঘড়ির কাঁটা ঘুরার বিপরীত দিকে। তবে কেউ যদি ঘড়ির কাঁটার দিকে মাপতে চায় , তাকে কেউ আটকাবে না। কোণ দুইটার মান আলাদা হবে, কিন্তু দুইটাই ঠিক। বেশির ভাগ “সময়” এর ক্ষেত্রে একটা কোণ বড় আর অন্যটি ছোট হয় । মাত্র একবার সমান হয়। যখন ৬:০০ টা বাজে, তখন ঘণ্টার কাঁটা আর মিনিটের কাঁটা একটি সরলরেখা তৈরী করে; যেদিক দিয়েই কোণ মাপি, সেটা ১৮০ ডিগ্রীই হবে। আরেকটা কথা- কোণ দুইটা যোগ করলে ৩৬০ ডিগ্রী হবে, সবসময়। যন্ত্র সব রেডি। এবার কাজ শুরু করা যাক- ক) সময়ঃ সকাল ৯:০০ টা , কোণ কত? (সকাল নাকি বিকাল- এটা কোন প্রভাব ফেলেনা; সকাল নয়টাতে যে কোণ, রাত নয়টায় তো একই কোণ।) ধাপ-১ঃ ১ ঘণ্টা = ৩০ ডিগ্রী। অতএব, ৯ ঘণ্টা = (৩০ * ৯) ডিগ্রী অথবা ২৭০ ডিগ্রী। মিনিট তো শূন্য, মিনিটের কাঁটা সরেনি। তাহলেতো মিনিটের জন্য কোণের মানে পরিবর্তন আসবেনা। শুধু ২৭০ ডিগ্রীই উত্তর হবার কথা। কিন্তু আমরাতো ছোট কোণটা নিব। কিন্তু কিভাবে? হুম… দ্যাখো, কী করি। ধাপ-২ঃ ছোট কোণ + বড় কোণ = ৩৬০ ডিগ্রী অতএব, ছোট কোণ = ( ৩৬০ – বড় কোণ ) ডিগ্রী = (৩৬০ – ২৭০ ) ডিগ্রী = ৯০ ডিগ্রী উত্তরঃ ৯০ ডিগ্রী বিঃদ্রঃ ধাপ-১ এ যে কোণ টা পেলাম সেটা যদি নিজেই ছোট হয়, তাহলে কিন্তু ধাপ-২ তে যাবার প্রয়োজন নাই। এখন কেউ বলবে, ধাপ-১ এর উত্তরটা ছোট কিনা কিভাবে বুঝব? আচ্ছা!! ১৮০ বা তার চেয়ে ছোট সব মানকেই ছোট কোণ বলব। উদাহরণ (খ) দেখলে বুঝে ফেলবে। খ) সময়ঃ বিকাল ৫:০০ টা, কোণ কত? ধাপ-১ঃ ১ ঘণ্টা = ৩০ ডিগ্রী। অতএব, ৫ ঘণ্টা = (৩০ * ৫) ডিগ্রী অথবা ১৫০ ডিগ্রী। যেহেতু এটা ১৮০ এর চেয়ে কম, তার মানে এটাই ছোট কোণ। [ অপর কোণটি (৩৬০ – ১৫০) ডিগ্রী = ২১০ ডিগ্রী ] উত্তরঃ ১৫০ ডিগ্রী। গ) সময়ঃ বিকাল ২:৪৫ , কোণ কত? ধাপ-১, ঘণ্টার কাঁটার সরণঃ ১২টা থেকে ২টাতে যাওয়ার জন্য ঘণ্টার কাঁটার সরণ হয়েছে। ১ ঘণ্টা = ৩০ ডিগ্রী। ………… (১) ২ ঘণ্টা = ৬০ ডিগ্রী। ধাপ-২, ঘণ্টার কাঁটার আরও সরণঃ ২ ঘণ্টার পর আরো ৪৫ মিনিটের জন্য আরো কিছু সরণ আছে। ৬০ মিনিটের জন্য ঘণ্টার কাঁটা সরে ৩০ ডিগ্রী অতএব, ১ মিনিটের জন্য ঘণ্টার কাঁটা সরে (৩০ / ৬০ ) ডিগ্রী অথবা ০.৫ ডিগ্রী ……… (২) অতএব, ৪৫ মিনিটের জন্য ঘণ্টার কাঁটা সরে ০.৫ * ৪৫ ডিগ্রী = ২২.৫ ডিগ্রী ধাপ-৩, মিনিটের কাঁটার সরণঃ মিনিটের কাঁটার ক্ষেত্রে, ৬০ মিনিট = ৩৬০ ডিগ্রী। ১ মিনিট = ৩৬০/৬০ বা ৬ ডিগ্রী। ……………….. (৩) ৪৫ মিনিট = ( ৬ * ৪৫ ) ডিগ্রী = ২৭০ ডিগ্রী ধাপ-৪: তাহলে, কোণ = ঘণ্টার কাঁটার সর্বমোট সরণ ও মিনিটের কাঁটার সরণের পার্থক্য…………………(৪) [ যে বড় তাকে আগে লিখবো] কোণ = ২৭০ – ( ৬০ +২২.৫) = ১৮৭.৫ = ১৮৭.৫ ডিগ্রী কিন্তু এটা বড় কোণ। আমাদের ছোট দরকার। অতএব, ছোট কোণ = ৩৬০ – ১৮৭.৫ ) ডিগ্রী = ১৭২.৫ ডিগ্রী উত্তরঃ ১৭২.৫ ডিগ্রী সূত্র বানাতে চাও? চলো করে ফেলি। ধরি, ঘণ্টা = H মিনিট= M (১) নং সমীকরণ থেকে পাই- ১ ঘণ্টা = ৩০ ডিগ্রী অতএব, H ঘণ্টা = ৩০ * H ডিগ্রী (২) নং সমীকরণ থেকে পাই- ১ মিনিটের জন্য ঘণ্টার কাঁটা সরে ০.৫ ডিগ্রী অতএব, M ” ” ” ” ” ( ০.৫ * M) ডিগ্রী (৩) নং সমীকরণ থেকে পাই- ১ মিনিটের জন্য মিনিটের কাঁটা সরে ৬ ডিগ্রী অতএব, M মিনিট = ৬ * M ডিগ্রী অতএব, কোণ = ঘণ্টার কাঁটার সর্বমোট সরণ ও মিনিটের কাঁটার সরণের পার্থক্য অথবা, কোণ = [(৩০ * H + 0.৫ * M) – ৬*M]……………… (৫) উদাহরণঃ সময় ০৬: ৩৫ বিকাল কোণ = [(৩০ * ৬ + ০.৫ * ৩৫ ) – ৬ * ৩৫] ডিগ্রী = – ১২.৫ ডিগ্রী [ঋনাত্মক চিহ্নটি বুঝায় মিনিটের কাঁটা ঘণ্টার কাঁটার আগে অবস্থান করছে। উত্তরে একে বাদ দিয়ে লিখতে হয়।] উত্তরঃ ১২.৫ ডিগ্রী